Kysymys:
Poissonin ja eksponentiaalijakauman suhde
user862
2010-08-25 13:33:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Poisson-jakauman odotusajat ovat eksponentiaalijakauma parametrilla lambda. Mutta en ymmärrä sitä. Poisson mallintaa esimerkiksi saapuneiden määrän aikayksikköä kohti. Kuinka tämä liittyy eksponentiaalijakaumaan? Sanotaan, että k-saapumisten todennäköisyys aikayksikössä on P (k) (poissonin mallinnama) ja todennäköisyys k + 1 on P (k + 1). Kuinka eksponentiaalijakauma mallintaa niiden välistä odotusaikaa?

Poisson * -jakelulla * ei ole odotusaikoja.Ne ovat Poisson-prosessin ominaisuus.
Katso myös [täältä] (http://www.csee.usf.edu/~kchriste/tools/poisson.pdf), parempi selitys näiden kahden jakauman erosta.
Viisi vastused:
#1
+82
user28
2010-08-25 14:43:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Käytän seuraavaa merkintää ollakseni mahdollisimman johdonmukainen wikin kanssa (jos haluat siirtyä edestakaisin vastaukseni ja wikimääritysten välillä poisson ja eksponentiaalinen).)

$ N_t $: saapuneiden määrä ajanjaksolla $ t $

$ X_t $: aika, joka kuluu yhden ylimääräisen saapumisen saapumiseen olettaen, että joku saapui aikaan $ t $

Seuraavat ehdot ovat määritelmän mukaan vastaavat:

$ (X_t > x) \ equiv (N_t = N_ {t + x}) $

Vasemmalla puolella oleva tapahtuma vangitsee tapahtuman, jota kukaan ei ole saapunut aikavälillä $ [t, t + x] $, mikä tarkoittaa, että saapuneiden lukumäärämme hetkellä $ t + x $ on sama kuin määrä $ t $, joka on tapahtuma oikealla.

Täydennysäännön mukaan meillä on myös:

$ P (X_t \ le x) = 1 - P (X_t > x) $

Käyttämällä kahden edellä kuvatun tapahtuman vastaavuutta voimme kirjoittaa yllä mainitun uudelleen:

$ P (X_t \ le x ) = 1 - P (N_ {t + x} - N_t = 0) $

Mutta,

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = P (N_x = 0) $

Käyttämällä yllä olevaa poisson pmf: tä, jossa $ \ lambda $ on keskimääräinen saapumisten määrä aikayksikköä kohden ja $ x $ määrä aikayksiköitä, yksinkertaistuu seuraavasti:

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = \ frac {(\ lambda x) ^ 0} {0!} e ^ { - \ lambda x} $

ts.

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = e ^ {- \ lambda x} $

Korvaa alkuperäinen ekvn, meillä on:

$ P (X_t \ le x) = 1 - e ^ {- \ lambda x} $

Yllä oleva on cdf eksponentiaalisesta pdf-tiedostosta.

Ok tämä tekee siitä selvän. Eksponentiaalista pdf-tiedostoa voidaan käyttää mallinnamaan odotusaikoja kahden peräkkäisen poisson-osuman välillä, kun taas poisson mallintaa osumien todennäköisyyttä. Poisson on erillinen, kun taas eksponentiaalinen on jatkuva jakauma. Olisi mielenkiintoista nähdä tosielämän esimerkki, jossa nämä kaksi tulevat esiin samanaikaisesti.
Huh?onko $ t $ ** hetki ** ajassa tai ** ajanjakso **?
Huomaa, että poisson-jakauma ei tarkoita automaattisesti eksponentiaalista pdf-tiedostoa tapahtumien välisten odotusaikojen osalta.Tämä koskee vain tilanteita, joissa tiedät, että poisson-prosessi on toiminnassa.Mutta sinun on todistettava poisson-jakauman olemassaolo JA eksponentiaalisen pdf: n olemassaolo osoittamaan, että poisson-prosessi on sopiva malli!
@CodyBugstein Both: ne ovat keskenään vaihdettavissa tässä yhteydessä.Saapuvat ovat toisistaan riippumattomia, mikä tarkoittaa, että ei ole väliä mikä on ajan siirtymä.Ajanjakso ajanjaksosta "0" - ajanjaksoon "t" vastaa mitä tahansa ajanjaksoa, jonka pituus on "t".
@user862: Se on täysin analoginen taajuuden ja aallonpituuden välisen suhteen kanssa.Pidempi aallonpituus;matalampi taajuus analoginen: pidempi odotusaika;pienempi odotettavissa oleva saapuminen.
@CodyBugstein Kun t on "ajanjakso", se on väli [0, t], ts. Jakso hetkestä 0 hetkeen t.
#2
+40
George Dontas
2010-08-25 15:58:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Poisson-prosessissa osumat tapahtuvat satunnaisesti menneisyydestä riippumatta, mutta tunnetulla pitkän aikavälin keskimääräisellä osumalla $ \ lambda $ osumia / aikayksikkö. Poisson-jakauma antaisi meille todennäköisyyden saada tietty määrä osumia.

Nyt osumien lukumäärän sijaan tarkastelemme satunnaismuuttujaa $ L $ (elinikäinen), aika, jonka joudut odottamaan ensimmäistä osumaa.

Todennäköisyys, että odotusaika on enemmän kuin annettu aikaarvo, on $ P (L \ gt t) = P (\ text {ei osumia ajassa t}) = \ frac {\ Lambda ^ 0e ^ {- \ Lambda}} {0!} = e ^ {- \ lambda t} $ (Poisson-jakauman avulla, missä $ \ Lambda = \ lambda t $ ).

$ P (L \ le t) = 1 - e ^ {- \ lambda t} $ (kumulatiivinen jakelutoiminto). Saamme tiheysfunktion ottamalla tämän johdannaisen:

$$ f (t) = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- \ lambda t} & \ mbox {for} t \ ge 0 \\ 0 & \ mbox {for} t \ lt 0 \ end {cases} $$

Mikä tahansa satunnaismuuttuja, jolla on tiheys Tämän kaltaisen toiminnon sanotaan olevan eksponentiaalisesti jaettu.

Nautin $ P (L> t) = P $ * (ei osumia ajassa t) * selityksestä. Tämä oli järkevää minulle.
Toinen piste, yhdellä yksikköajalla on $ \ lambda $ -hittejä, joten $ t $ -yksikköaikalla on $ \ lambda t $ -osumia.
#3
+6
user2024015
2017-08-11 06:51:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Muut vastaukset selittävät hyvin matematiikkaa. Mielestäni on hyödyllistä tarkastella fyysistä esimerkkiä. Kun ajattelen Poisson-prosessia, palaan aina ajatukseen siitä, että autot kulkevat tiellä. Lambda on keskimääräinen kulkemien autojen määrä aikayksikköä kohti, sanotaanpa 60 / tunti (lambda = 60). Tiedämme kuitenkin, että todellinen määrä vaihtelee - toisinaan enemmän, toisinaan vähemmän. Poisson-jakauma antaa meille mahdollisuuden mallintaa tämä vaihtelu.

Nyt keskimäärin 60 autoa tunnissa vastaa keskimäärin yhtä minua ohittavaa autoa. Jälleen kerran tiedämme kuitenkin, että saapumisten välillä on vaihtelevaa aikaa: Joskus yli 1 minuutti; muina aikoina vähemmän. Eksponentiaalinen jakauma antaa meille mahdollisuuden mallintaa tämä vaihtelu.

Kaikki sanottuaan tiellä ohittavat autot eivät aina seuraa Poisson-prosessia. Jos kulman takana on esimerkiksi liikennemerkki, saapuvat niputetaan tasaisen sijasta. Avoimella moottoritiellä hidas traktoriperävaunu voi kestää pitkiä autoja, aiheuttaen taas rypytystä. Näissä tapauksissa Poisson-jakelu voi silti toimia kunnossa pidempään, mutta eksponentti epäonnistuu huonosti saapumisajan mallinnuksessa.

Huomaa myös, että vuorokaudenajan mukaan vaihtelu on valtava: kiireisempi työmatka-aikoina; paljon hitaammin kello 3.00. Varmista, että lambda heijastaa tarkoittamaasi ajanjaksoa.

#4
+4
Stuart Winter
2012-04-23 14:54:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Poissonin jakauma johdetaan normaalisti binomijakaumasta (molemmat diskreetti). Tämän löydät Wikistä.

Poisson-jakauma (diskreetti) voidaan kuitenkin johtaa myös eksponentiaalijakaumasta (jatkuva).

Olen lisännyt todistuksen Wikiin. (alla oleva linkki):

https://fi.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

erillisen ja jatkuvan yhteys ei ollut ilmeinen, kiitos tästä!
En ole vakuuttunut tuosta wikipedia-ratkaisusta.Erityisesti korkeamman asteen laskelmat sisältävät rajoituksia integraaleille, jotka sisältävät `` 1-x-y '' -termin, joita en (ainakaan tällä hetkellä) ymmärrä.Kirjoittajien termi "p (0; lambda)" ei näytä antavan samaa vastausta, jos tässä käytetty integraali korvataan sanalla "1-int", jossa "int" on toinen integraali, jonka rajat ovat välillä [0,1].`eikä` [1, + inf] `.Olen työskennellyt tämän kanssa noin viikon ajan, enkä ole edistynyt paljon.
#5
+1
Ben
2020-05-27 07:16:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vaikka muut täällä olevat vastaukset menevät tarkempiin yksityiskohtiin, aion antaa sinulle yksinkertaisen yhteenvedon yhtälöstä, joka liittyy IID-eksponentiaalisten satunnaismuuttujien joukkoon ja generoituun Poissonin satunnaismuuttujaan. Poissonin satunnaismuuttuja parametrilla $ \ lambda > 0 $ voidaan luoda laskemalla peräkkäisten tapahtumien määrä ajassa $ \ lambda / \ eta $ , jossa tapahtumien väliset ajat ovat riippumattomia eksponentiaalisia satunnaismuuttujia, joiden nopeus on $ \ eta $ . (Asetus $ \ eta = 1 $ antaa sinulle yksinkertaisen tavan luoda Poissonin satunnaismuuttuja IID-yksikön eksponentiaalisten satunnaismuuttujien sarjasta.)

Tämä tarkoittaa, että jos $ E_1, E_2, E_3, ... \ sim \ text {Exp} (\ eta) $ nopeusparametrilla $ \ eta>0 $ ja $ K \ sim \ text {Pois} (\ lambda) $ nopeusparametrilla $ \ lambda>0 $ sitten sinulla on:

$$ \ mathbb {P} (K \ geqslant k) = \ mathbb {P} \ Big (E_1 + \ cdots + E_k \ leqslant \ frac {\ lambda} {\ eta} \ iso). $$



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 2.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...