Jos ihmettelet, miksi tätä laitetta käytetään, kun jotain paljon yksinkertaisempaa voi riittää - olet oikeassa useimmissa tilanteissa. Kolmogorov on kuitenkin kehittänyt todennäköisyyden mittateoreettisen version tarkoituksena luoda teoria sellaisesta yleisyydestä, että se pystyy käsittelemään joissakin tapauksissa hyvin abstrakteja ja monimutkaisia ​​todennäköisyystiloja. Itse asiassa Kolmogorovin mittausteoreettiset perustelut todennäköisyydelle antoivat viime kädessä todennäköisyystyökaluja soveltaa kauas alkuperäisen suunnitellun soveltamisalueensa ulkopuolelle esimerkiksi harmonisen analyysin aloilla.

Aluksi näyttää helpommalta ohittaa kaikki "taustalla olevat" "$ \ sigma $ -algebra $ \ Omega $, ja yksinkertaisesti määrittää todennäköisyysmassat tapahtumille, jotka käsittävät suoraan näytetilan, kuten olet ehdottanut. Todennäköisyystekijät tekevät tosiasiallisesti saman asian aina, kun he päättävät työskennellä "indusoidun mittauksen" kanssa $ P \ circ X ^ {- 1} $: n määrittelemässä näytetilassa. Asiat alkavat kuitenkin hankaliksi, kun alat päästä äärettömiin ulottuvuuksiin. Oletetaan, että haluat todistaa suurten numeroiden vahvan lain laillisten kolikoiden kääntämisen erityistapausta varten (ts. Että päiden osuus on mielivaltaisesti lähellä 1/2, kun kolikoiden lukumäärä menee äärettömään). Voit yrittää rakentaa $ \ sigma $ -algebran muodon $ (H, T, H, ...) $ äärettömien sekvenssien joukkoon. Mutta täältä voi huomata, että on paljon helpompaa ottaa taustalla oleva tila olevan $ \ Omega = [0,1) $; ja käytä sitten reaalilukujen binaarisia esityksiä (esim. $ 0.10100 ... $) edustamaan kolikkoläpän jaksoja (1 on päätä, 0 häntää.) Esimerkki tästä esimerkistä löytyy Billingsleyn muutamasta ensimmäisestä luvusta Todennäköisyys ja mitta .

$ \ sigma $ -algebrasiin liittyvät kysymykset ovat matemaattisia hienovaraisuuksia, jotka eivät todellakaan selitä miksi tai tarvitsemme taustaa . Itse sanoisin, ettei ole pakottavia todisteita siitä, että taustatila on välttämätön. Kaikille todennäköisyysasetuksille $ (E, \ mathbb {E}, \ mu) $, joissa $ E $ on näytetila, $ \ mathbb {E} $ the $ \ sigma $ -algebra ja $ \ mu $ todennäköisyysmitta, kiinnostus kohdistuu dollariin $ \ mu $, eikä ole abstraktia syytä, miksi haluamme $ \ mu $ olevan mitattavan kartan $ X kuvamitta: (\ Omega, \ mathbb {B}) \ - (E, \ mathbb {E}) $.

Abstraktin taustatilan käyttö antaa kuitenkin matemaattisen mukavuuden , joka saa monet tulokset näyttämään luonnollisemmilta ja intuitiivisemmilta. Tavoitteena on aina sanoa jotain $ \ mu $: sta, $ X $: n jakelu , mutta se voi olla helpompaa ja selkeämmin ilmaistuna $ X $: na.

Esimerkin antaa keskirajalause. Jos $ X_1, \ ldots, X_n $ ovat i.i.d. todellinen arvo keskiarvolla $ \ mu $ ja varianssilla $ \ sigma ^ 2 $ CLT sanoo, että $$ P \ left (\ frac {\ sqrt {n}} {\ sigma} \ left (\ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i - \ xi \ right) \ leq x \ right) \ to \ Phi (x) $$ missä $ \ Phi $ on normaalin normaalijakauman jakelutoiminto. Jos $ X_i $: n jakauma on $ \ mu $, vastaava tulos mitattuna on $$ \ rho _ {\ sqrt {n} / \ sigma} \ circ \ tau _ {\ xi} \ circ \ rho_ {1 / n} (\ mu ^ {* n}) ((- - \ infty, x]) \ to \ Phi (x) $$ Tarvitaan jonkin verran selitystä termeille. $ \ mu ^ {* n} $ tarkoittaa $ n $ -timesin konvoluutio $ \ mu $ (summan jakauma). Funktiot $ \ rho_c $ ovat lineaarisia funktioita $ \ rho_c (x) = cx $ ja $ \ tau _ {\ xi} $ on käännös $ \ tau _ {\ xi} (x) = x - \ xi $. Toiseen formulaatioon voisi todennäköisesti tottua, mutta se tekee hyvää työtä piilottaessaan, mistä on kyse.

Vaikuttaa siltä, ​​että CLT: hen liittyvät aritmeettiset muunnokset ilmaistaan ​​melko selvästi satunnaismuuttujina, mutta ne eivät käänny niin hyvin mittojen suhteen.

Löysin vasta äskettäin tämän uuden tavan ajatella satunnaismuuttujaa $ X $ sekä taustatilaa $ \ Omega $. En ole varma, etsitkö tätä kysymystä, koska et ole matemaattinen syy, mutta mielestäni se tarjoaa erittäin siistin tavan ajatella matkailuautoja.

Kuvittele tilanne, jossa heitämme kolikon. Tämä kokeellinen kokoonpano koostuu joukosta mahdollisia alkuolosuhteita, jotka sisältävät fyysisen kuvauksen kolikon heittämisestä. Taustatila koostuu kaikista mahdollisista alkuolosuhteista. Yksinkertaisuuden vuoksi voimme olettaa, että kolikoiden heittojen nopeus vaihtelee vain, asetamme sitten $ \ Omega = [0, v_ {max}] $

Satunnaismuuttujaa $ X $ voidaan sitten ajatella funktiona, joka kartoittaa jokaisen alkutilan $ \ omega \ in \ Omega $ vastaavalla kokeilun tuloksella, olipa kyseessä sitten pyrstö vai pää.

Matkailuauto: $ X: ([0, v_ {max}], B \ cap [0, v_ {max}], Q) \ - (\ {0,1 \}, 2 ^ {\ { 0,1 \}}) $ mittayksikkö $ Q $ vastaisi sitten todennäköisyysmittaa alkuperäisissä olosuhteissa, mikä yhdessä $ X $: n edustaman kokeen dynamiikan kanssa määrittää todennäköisyysjakauman lopputuloksiin.

Tämän idean viitteeksi voit tarkastella Tim Maudlinin tai Micheal Strevensin lukuja "Todennäköisyydet fysiikassa" (2011)