Perusajatuksena on, että kovarianssi mittaa vain yhden tietyn tyyppisen riippuvuuden , joten nämä kaksi eivät ole samanarvoisia. Tarkemmin sanottuna

• kovariaatio on mitta, kuinka lineaarisesti liittyvät kaksi muuttujaa. Jos kaksi muuttujaa liittyy epälineaarisesti, tämä ei heijastu kovarianssissa. Tarkempi kuvaus löytyy täältä.

• Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus viittaa minkä tahansa tyyppiseen suhteeseen näiden kahden välillä mikä saa heidät toimimaan eri tavalla "yhdessä" kuin "itse". Erityisesti satunnaismuuttujien välinen riippuvuus vie kaikki suhde näiden kahden välillä, mikä saa niiden yhteisen jakauman olemaan ei marginaalijakaumien tulos. Tämä sisältää sekä lineaariset suhteet että monet monet muut.

• Jos kaksi muuttujaa liittyy epälineaarisesti , heillä voi olla 0 kovarianssia, mutta ne ovat silti riippuvaisia ​​- monia esimerkkejä on annettu tässä ja tämä alla oleva wikipedian juoni antaa joitain graafisia esimerkkejä alarivillä:

  

• Yksi esimerkki, jossa kovarianssi ja itsenäisyys on nolla satunnaismuuttujien välillä ovat samanarvoiset olosuhteet, kun muuttujat ovat yhdessä normaalijakautuneita (toisin sanoen nämä kaksi muuttujaa seuraavat kaksimuuttujaista normaalijakaumaa, joka ei vastaa kahta muuttujaa normaalisti jaettu). Toinen erityistapaus on, että bernoulli-muuttujien parit ovat korreloimattomia vain ja vain, jos ne ovat riippumattomia (kiitos @cardinal). Mutta yleensä näitä kahta ei voida pitää vastaavana.

Siksi ei voida yleisesti päätellä, että kaksi muuttujaa on itsenäisiä vain siksi, että ne näyttävät olevan korreloimattomia (esim. ei hylännyt null-hypoteesia korrelaation puuttumisesta). On suositeltavaa piirtää tietoja päättelemään, liittyvätkö nämä kaksi toisiinsa, eikä vain pysähtyä korrelaatiotestissä. Esimerkiksi (kiitos @gung), jos suoritetaan lineaarinen regressio (ts. Nollan ulkopuolisen korrelaation testaus) ja löydetään ei-merkitsevä tulos, voi olla houkutus päätellä, että muuttujat eivät liity toisiinsa, mutta Olemme tutkineet vain lineaarista suhdetta.

En tiedä paljon psykologiasta, mutta on järkevää, että muuttujien välillä voi olla epälineaarisia suhteita. Leluesimerkkinä vaikuttaa siltä, ​​että kognitiivinen kyky liittyy epälineaarisesti ikään - hyvin nuoret ja hyvin vanhat ihmiset eivät ole yhtä teräviä kuin 30-vuotiaat. Jos aiotaan piirtää jonkinlainen kognitiivisen ablityn suhde ikään, voidaan odottaa, että kognitiivinen kyky on korkein kohtuullisessa iässä ja hajoaa sen ympärillä, mikä olisi epälineaarinen malli.

Vakiintapa korrelaation tai kovarianssin opettamiseksi / visualisoimiseksi on piirtää tiedot, piirtää viivojen 'x' ja 'y' keskiarvoon ja piirtää sitten suorakulmioita 2 välineen kohdasta yksittäisiin datapisteisiin tämä:

Oikean yläkulman ja vasemman alakulman suorakulmiot (pisteet) (esimerkissä punaiset) vaikuttavat positiivisiin arvoihin korrelaatioon / kovarianssiin, kun taas suorakulmiot (pisteet) vasemmassa yläkulmassa ja oikeassa alakulmassa (esimerkissä sininen) vaikuttavat negatiivisiin arvoihin korrelaatioon / kovarianssiin. Jos punaisten suorakulmioiden kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sinisten suorakulmioiden kokonaispinta-ala, positiiviset ja negatiivit poistuvat ja kovarianssi on nolla. Jos punaisella on enemmän aluetta, kovarianssi on positiivinen ja jos sinisellä on enemmän pinta-alaa, kovarianssi on negatiivinen.

Katsotaan nyt esimerkkiä edellisestä keskustelusta:

Yksittäiset pisteet seuraavat parabolia, joten ne ovat riippuvaisia, jos tiedät 'x', niin tiedät tarkasti 'y', mutta voit nähdä myös jokaisen punaisen suorakulmiossa on vastaava sininen suorakulmio, joten lopullinen kovarianssi on 0.

Yksi yksinkertainen testi, jos jos tiedot seuraavat periaatteessa symmetristä kuviota pystysuoran tai vaakasuoran akselin ympäri keinojen läpi, yhteisvarianssi on melko lähellä nollaa.Esimerkiksi, jos symmetria on y-akselin ympäri, se tarkoittaa, että jokaiselle arvolle, jolla on annettu y, on positiivinen x ero keskiarvoon x ja negatiivinen ero keskiarvoon x.Y * x: n lisäys näille arvoille on nolla.Voit nähdä tämän havainnollistettuna hienosti muiden vastausten esimerkkitonttien kokoelmassa.On muitakin malleja, jotka antaisivat nollavarianssin, mutta eivät itsenäisyyttä, mutta monia esimerkkejä voidaan helposti arvioida etsimällä symmetriaa vai ei.

Esimerkki Wikipediasta:

"Jos muuttujat ovat riippumattomia, Pearsonin korrelaatiokerroin on 0, mutta päinvastoin ei ole totta, koska korrelaatiokerroin havaitsee vain lineaariset riippuvuudet kahden muuttujan välillä. Oletetaan esimerkiksi, että satunnaismuuttuja X on symmetrisesti jaettu nollan ja Y= X ^ 2. Silloin X on täysin määritetty Y, niin että X ja Y ovat täysin riippuvaisia, mutta niiden korrelaatio on nolla; ne ovat korreloimattomia.riippumattomuus. "