PDF-tiedostot ovat korkeuksia, mutta niitä käytetään kuvaamaan todennäköisyyttä pinta-alan avulla. Siksi se auttaa ilmaisemaan PDF-tiedoston tavalla, joka muistuttaa meitä siitä, että pinta-ala on yhtä suuri kuin korkeus-kerros.

Korkeuden millä tahansa arvolla $ x $ antaa aluksi PDF $ f_X (x) $ . Perusta on äärettömän pieni segmentti $ dx $ , josta jakelu (ts. Todennäköisyysmittari toisin kuin jakofunktio) ) on todellakin differentiaalimuoto tai "todennäköisyyselementti".

$$ \ operaattorin nimi {PE} _X (x) = f_X (x) \, dx. $$

Tämä on PDF: n sijaan objekti, jota haluat käyttää sekä käsitteellisesti että käytännöllisesti, koska se sisältää nimenomaisesti kaikki todennäköisyyden ilmaisemiseen tarvittavia elementtejä.

Kun ilmaisemme $ x $ uudelleen ilmaisulla $ y = x ^ 2 $ , perussegmentit $ dx $ venyvät (tai puristuvat): neliöimällä aikavälin molemmat päät alueelle $ x $ - $ x + dx $ näemme, että Alueen $ y $ on oltava pituusväli

$$ dy = (x + dx) ^ 2 - x ^ 2 = 2 x \, dx + (dx) ^ 2. $$

Koska tuotteen kaksi infinitesimalia on merkityksetön itse infiniittisumaleihin verrattuna, päätellään

$$ dy = 2 x \, dx, \ text {from}} dx = \ frac {dy } {2x} = \ frac {dy} {2 \ sqrt {y}}. $$

Tämän vahvistamisen jälkeen laskenta on triviaalia, koska liitämme vain uuden korkeuden ja uusi leveys:

$$ \ operaattorin nimi {PE} _X (x) = f_X (x) \, dx = f_X (\ sqrt {y}) \ frac {dy} {2 \ sqrt {y}} = \ operaattorin nimi {PE} _Y (y). $$

Koska pohja on $ y $ : n arvossa $ dy $ , riippumatta siitä, mikä kertoo sen on oltava korkeus, jonka voimme lukea suoraan keskitermistä

$$ \ frac {1} {2 \ sqrt {y}} f_X (\ sqrt {y}) = f_Y (y). $$

Tämä yhtälö $ \ operaattorin nimi {PE} _X (x) = \ operaattorin nimi { PE} _Y (y) $ on käytännössä alueen (= todennäköisyyden) säilyttämislaki.

Tämä kuva on tarkasti näyttää kapeat (melkein äärettömän pienet) kaksi PDF-tiedostoa, jotka liittyvät $ y = x ^ 2 $ . Todennäköisyyksiä edustavat varjostetut alueet. Välin $ [0,32, 0,45] $ puristamisen vuoksi neliön avulla punaisen alueen korkeus ( $ y $ , vasemmalla) on laajennettava suhteellisesti sinisen alueen pinta-alaan ( $ x $ , oikealla).

Entä jos valmistan esineitä, jotka ovat aina neliön muotoisia ja tiedän neliöiden sivupituuksien jakauman; mitä voin sanoa neliöiden pinta-alojen jakautumisesta?

Erityisesti, jos tiedän satunnaismuuttujan $ X $ jakauman, mitä voin sanoa $ Y = X ^ {2} $: sta ? Yksi asia, jonka voit sanoa, on

$$ \ eqalign {F_ {Y} (c) & = & P (Y \ le c) \\ & = & P (X ^ {2} \ le c) \\ & = & P (- \ sqrt {c} \ le X \ le \ sqrt {c}) \\ & = & F_ {X} (\ sqrt {c}) - F_ {X} (- \ sqrt {c}). \\} $$

Joten muodostetaan suhde $ Y $: n CDF: n ja $ X $: n CDF: n välille; mikä on heidän PDF-tiedostojensa suhde? Tarvitsemme siihen laskennan. Molempien osapuolten johdannaisten ottaminen antaa sinulle haluamasi tulokset.

Kuvittele, että meillä on populaatio ja $ Y $ on yhteenveto kyseisestä populaatiosta. Sitten $ P (Y \ in (y, y + \ Delta y)) $ laskee niiden yksilöiden osuutta, joilla on muuttuja $ Y $ alueella $ (y, y + \ Delta y) $ . Voit pitää tätä "bin" -kokona $ \ Delta y $ ja laskemme, kuinka monta henkilöä siinä on.

Ilmaiskaamme nyt nämä henkilöt uudella muuttujalla, $ X $ . Ottaen huomioon, että tiedämme, että $ Y $ ja $ X $ liittyvät toisiinsa nimellä $ Y = X ^ 2 $ , tapahtuma $ Y \ (y, y + \ Delta y) $ on sama kuin tapahtuma $ X ^ 2 \ in (x ^ 2, (x + \ Delta x) ^ 2) $ , joka on sama kuin tapahtuma $ X \ sisään (| x |, | x | + \ Delta x) ~ \ teksti {tai} ~ X \ sisään (- | x | - \ Delta x, - | x |) $ span >. Siten henkilöiden, jotka ovat roskakorissa $ (y, y + \ Delta y) $ , on oltava myös roskakorissa $ (| x |, | x | + \ Delta x) $ ja $ (- | x | - \ Delta x, - | x |) $ span >. Toisin sanoen näissä jäteastioissa on oltava sama osuus yksilöitä,

\ begin {tasaus} P (Y \ sisään (y, y + \ Delta y)) & = P \ vasen (X \ sisään (| x |, | x | + \ Delta x) \ oikea) + P \ vasen (X \ sisään (- | x | - \ Delta x, - | x |) \ oikea ) \ end {tasaa}

Ok, nyt päästään tiheyteen. Ensin on määriteltävä, mikä on todennäköisyys tiheys . Kuten nimestä voi päätellä, se on yksilöiden osuus alueittain . Toisin sanoen laskemme yksilöiden osuuden kyseisessä astiassa ja jaamme roskakorin kokoon . Koska olemme todenneet, että ihmisten osuudet ovat samat täällä, mutta roskakorien koko on muuttunut, päätellään, että tiheys on erilainen. Mutta erilainen kuinka paljon?

Kuten sanoimme, todennäköisyystiheys on roskakorissa olevien ihmisten osuus jaettuna roskakorin koolla, joten $ Y $ -tiheyden antaa $ f_Y (y): = \ frac {P (Y \ sisään (y, y + \ Delta y))} {\ Delta y} $ . Vastaavasti $ X $ -todennäköisyyden tiheys saadaan $ f_X (x): = \ frac {P (X \ (x, x + \ Delta x))} {\ Delta x} $ .

Edellisestä tuloksestamme käy ilmi, että jokaisen roskakorin populaatio on sama, meillä on se,

\ begin {tasaus} f_Y (y): = \ frac {P (Y \ sisään (y, y + \ Delta y))} {\ Delta y} & = \ frac {P \ vasen (X \ sisään (| x |, | x | + \ Delta x) \ oikea) + P \ vasen (X \ sisään (- | x | - \ Delta x, - | x |) \ oikea)} {\ Delta y} \\ & = \ frac {f_X (| x |) \ Delta x + f_ {X} (- | x |) \ Delta x} {\ Delta y} \\ & = \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} \ vasen (f_X (| x |) + f_ {X} (- | x |) \ oikea) \\ & = \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} \ vasen (f_X (\ sqrt {y}) + f_ {X} (- \ sqrt {y}) \ oikea) \ end {tasaa}

Eli tiheys $ f_X (\ sqrt {y}) + f_ {X} (- \ sqrt {y}) $ muuttuu kertoimella $ \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} $ , joka on astian venyttämisen tai puristamisen suhteellinen koko.Meidän tapauksessamme, koska $ y = x ^ 2 $ meillä on tämä $ y + \ Delta y = (x + \Delta x) ^ 2 = x ^ 2 + 2x \ Delta x + \ Delta x ^ 2 $ .Jos $ \ Delta x $ on tarpeeksi pieni, voimme jättää huomiotta $ \ Delta x ^ 2 $ , mikä tarkoittaa $ \ Delta y = 2x \ Delta x $ ja $ \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} = \frac {1} {2x} = \ frac {1} {2 \ sqrt {y}} $ , ja siksi tekijä $ \ frac {1} {2 \ sqrt {y}} $ näkyy muunnoksessa.