[Oletan kysymyksesi keskustelusta, että hyväksyt mielelläni tosiasian, että jos $ Z_i, i = 1,2, \ ldots, k $ ovat riippumattomia identtisesti jakautuneita $ N (0,1) $ satunnaismuuttujia ja sitten $ \ sum_ {i = 1} ^ {k} Z_i ^ 2 \ sim \ chi ^ 2_k $ .]

Tarvitsemasi tulos seuraa muodollisesti Cochranin lauseesta. (Vaikka se voidaan näyttää muilla tavoin)

Vähemmän muodollisesti, ota huomioon, että jos tiedämme populaation keskiarvon ja arvioimme sen varianssin (pikemminkin kuin otoksen keskiarvon): $ s_0 ^ 2 = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} (X_i- \ mu) ^ 2 $ , sitten $ s_0 ^ 2 / \ sigma ^ 2 = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ vasen (\ frac {X_i- \ mu} {\ sigma} \ oikea) ^ 2 = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} Z_i ^ 2 $ , ( $ Z_i = (X_i- \ mu ) / \ sigma $ ), joka on $ \ frac {1} {n} $ kertaa $ \ chi ^ 2_n $ satunnaismuuttuja.

Se, että käytetään otoksen keskiarvoa populaation keskiarvon sijaan ( $ Z_i ^ * = ( X_i- \ bar {X}) / \ sigma $ ) tekee poikkeamien neliösumman pienemmäksi, mutta vain siten, että $ \ sum_ {i = 1 } ^ {n} (Z_i ^ *) ^ 2 \, \ sim \ chi ^ 2_ {n-1} $ (josta ks. Cochranin lause). Eli $ ns_0 ^ 2 / \ sigma ^ 2 \ sim \ chi ^ 2_n $ , meillä on nyt $ ( n-1) s ^ 2 / \ sigma ^ 2 \ sim \ chi ^ 2_ {n-1} $ .